証明可能性論理GLとその拡張のModal Companion
モチベーション
Modal Companionで例えば$ \sf GLに対応する命題論理はあったりするのか？と思った．
メモ
$ \sf S4 = KT4
その他の論理でも少なくとも$ \sf S4から$ \sf S5の間に位置していることから本質的に$ \sf S4は不可欠でありそう．
証明可能性論理GLの別定義より様相論理GLは正規様相論理K4の拡張からも得られるということがわかっている．$ \sf GL = K4*，$ *としてはHenkin公理図式やLöb推論規則など．
様相論理GLSは$ \sf GLに$ \sf Tを足したものだから，結果として$ \sf GLS = KT4*
だから様相論理GLSに関しては何らかのModal Companionがあってもよさそうな気はする．どうなんだろう？
何はともあれA. Chagrov, M. Zakharyashchev; 1992; "Modal Companions of Intermediate Propositional Logics"を読んだほうが良さそうな気がする．
メモ
結果としてだが，多分出来ないだろうなと思った．
M. A. E. Dummett, E. J. Lemmon; 1959; "Modal Logic Between S4 and S5"より次の結果が成り立つ．
Thm?: Dumett-LemmonのModal Companionの定理（そういう名前があるのかはわからない）
論理$ \mathsf{\Lambda} = \mathsf{iPL} + \{ A_i \}_{i \in I}であるとき，$ \tau \mathsf{\Lambda} = \mathsf{S4} + \{ T(A_i) \}_{i \in I}として
$ \vdash_\mathsf{\Lambda} A \iff \vdash_{\tau\mathsf{\Lambda}} T(A)
ただし$ TはGödel変換．
この定理に基づけば，Gödel-Dummet論理は$ \mathsf{GD} = \mathsf{iPL} + \lbrack (p \to q) \lor (q \to p) \rbrackである
追加されたDummettの法則をGödel変換すると$ \Box(\Box p \to \Box q) \lor \Box(\Box q \to \Box p)である（これは様相論理の公理.3である）ので
$ \tau\mathsf{GD} = \mathsf{S4.3}でModal Companion．
で，問題の様相論理の公理Lだが
$ \mathbf{L} \equiv \Box(\Box p \to p) \to \Box pにはModalizedされていない（$ \Box pの形でない）$ pが出現する．
他方，Gödel変換は必ず命題変項をModalizedする
だから$ T(A) \equiv \mathbf{L}となる何らかの命題論理の論理式$ Aは存在し得ない．